Le difficoltà in matematica di studentesse e studenti non si superano abbassando il livello delle domande che facciamo, ma cambiando l'obiettivo per cui le facciamo: stimolare processi di pensiero, invece di controllare se sanno rispondere.

Rosetta Zan

Le proposte di Rosetta Zan per un ritorno in classe sereno e "matematico"

L’inizio dell’anno scolastico è sempre un momento importante, sia per te come insegnante che per le tue studentesse e i tuoi studenti: carico di buoni propositi, del bisogno di ripartire bene. Quest’anno poi, come il precedente, ai buoni propositi si aggiunge la preoccupazione di riuscire a superare le difficoltà causate dalla pandemia che hanno colpito la scuola in modo significativo. Da insegnanti si tende in particolare a dare molto rilievo alle carenze e lacune che le studentesse e gli studenti possono aver accumulato nel periodo di didattica a distanza, e ci si preoccupa di come riuscire a superarle e ancora prima a riconoscerle.

Ma la didattica a distanza e i distanziamenti in classe hanno prodotto altri effetti negativi: la dimensione sociale che è così importante nell’apprendimento e nell’insegnamento – anche della matematica - ha risentito fortemente delle restrizioni anti-Covid.

Per questo la professoressa Zan crede sia opportuno partire da lì, per ripartire bene, per accogliere le tue studentesse e i tuoi studenti in un ambiente sereno e che favorisca l’apprendimento: innanzitutto conoscendoli meglio, attraverso una riflessione sul rapporto che hanno costruito con la matematica e che può ostacolare un approccio adeguato alla disciplina; poi facendoli parlare fra loro di matematica, facendoli lavorare insieme in attività che siano significative dal punto di vista della matematica e che traggano vantaggio dal confronto di idee e di modi di esprimersi.

Le attività che qui trovi hanno queste caratteristiche in quanto sono centrate su processi e aspetti cruciali dell’apprendimento della matematica, in particolare sul pensiero matematico e sul linguaggio matematico. Proprio per questo, non sono utili solo per l'accoglienza, ma possono essere proposte alle tue studentesse e ai tuoi studenti durante tutto l'anno scolastico.

Per ogni classe sono proposte 3 attività, che riguardano i seguenti aspetti:

  • l’atteggiamento nei confronti della matematica;
  • il pensiero matematico, in particolare congetturare, argomentare/dimostrare;
  • il linguaggio matematico, in particolare la comprensione e l’uso delle definizioni.

A parte la riflessione sull’atteggiamento, per ognuna delle altre attività è prevista una fase preliminare di riflessione individuale, seguita da una fase di confronto e discussione da svolgere in gruppi. Ti suggeriamo di formare gruppi poco numerosi (al massimo 4 studenti) e omogenei.

In queste due fasi è importante lasciare alle studentesse e agli studenti il tempo necessario e non intervenire immediatamente per correggere eventuali errori o per suggerire strategie risolutive. Al più puoi cercare di sbloccare situazioni di stallo attraverso opportune domande. In ogni caso è prevista una fase finale in cui l’insegnante stimola il confronto fra i gruppi, una discussione collettiva, e quindi tira le fila dell’attività.

Le attività proposte sono solamente una traccia e vanno adattate al contesto della classe: in particolare possono essere rese più complesse o più semplici a seconda delle esperienze che le studentesse e gli studenti hanno già fatto sui temi proposti.

È importante sottolineare che l’obiettivo con cui sono scelte le domande delle attività proposte non è quello di ottenere risposte corrette, ma quello di stimolare i processi di pensiero delle tue studentesse e dei tuoi studenti e anche di rendere consapevoli loro e te di eventuali difficoltà, in modo da poterle superare.

Se vuoi approfondire:

In matematica le domande che in genere si fanno a una studentessa o a uno studente vogliono verificare se conosce la risposta ‘giusta’: questa pratica ha però alcune conseguenze negative; per un insegnamento efficace è invece importante fare domande che siano in grado di attivare processi di pensiero significativi.

Guarda la videolezione di Rosetta Zan; se vuoi, puoi farle domande compilando il modulo.

L'atteggiamento verso la matematica

Contenuto

Questa attività ha per oggetto una riflessione da parte di studentesse e studenti sul rapporto che hanno costruito con la matematica durante il loro percorso scolastico.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo è duplice.

Dal punto di vista di studentesse e studenti si vuole favorire la loro consapevolezza riguardo al loro rapporto attuale con la matematica, ma anche alle possibili cause di tale rapporto.

Dal punto di vista dell’insegnante questa attività vuole favorire la conoscenza dell’atteggiamento che hanno studentesse e studenti verso la matematica, in particolare qual è la visione della matematica che hanno costruito e qual è il suo senso di autoefficacia.

La conoscenza da parte dell’insegnante di questi due aspetti può essere d'aiuto sia per interpretare i comportamenti di studentesse e studenti che per intervenire in modo mirato.

Questo tipo di indagine è particolarmente significativo per imparare a conoscere le studentesse e gli studenti di una nuova classe, quindi nelle classi prime (in cui vengono proposte due domande aggiuntive, riguardanti le aspettative di studentesse e studenti sull’insegnante di matematica), ma anche nel caso delle classi seconde è utile per conoscere alcuni aspetti che in genere nella pratica didattica vengono sottovalutati e che invece sono molto importanti, soprattutto per capire le cause di eventuali difficoltà.

Metodologia

Il questionario va compilato individualmente.

Puoi utilizzare il questionario anche come strumento per il monitoraggio dell’atteggiamento, riproponendolo all’inizio di ogni anno o in altri momenti (eventualmente in una versione modificata o ridotta) per riconoscere cambiamenti in positivo o negativo.

Anche se il questionario prevede una compilazione individuale, puoi cogliere l’occasione per promuovere una riflessione e un confronto collettivi in classe sulla natura della matematica, su cosa vuol dire "andar bene" in matematica e sugli altri punti oggetto delle domande.

Per il monitoraggio dell’atteggiamento inoltre può essere utile, alla fine di un ciclo di lezioni su un argomento, porre alcune domande del tipo:

  • Cosa ti è piaciuto di più?
  • Cosa ti è piaciuto di meno? Perché?
  • Cosa ti è risultato più facile? Cosa ti è risultato più difficile? Perché?

Il pensiero matematico: congetturare e argomentare

Contenuto

Questa attività ha per oggetto il processo di argomentazione/dimostrazione in matematica, ma anche le convinzioni che hanno le studentesse e gli studenti sul ruolo del linguaggio matematico in tale processo.

Vengono proposte sei diverse argomentazioni prodotte da sei ipotetici studenti per dimostrare che la somma di due numeri pari è sempre un numero pari, argomentazioni che differiscono o per il tipo di ragionamento seguito o per il linguaggio in cui sono espresse.

A studentesse e studenti si pone una duplice richiesta:

  • scegliere la risposta più vicina a quella che loro stesse e loro stessi avrebbero dato;
  • scegliere la risposta che a loro parere sarebbe stata considerata migliore dall’insegnante.

Obiettivi e indicazioni didattiche

Un primo obiettivo, che riguarda le studentesse e gli studenti, è lo sviluppo delle competenze di argomentazione/dimostrazione, ma anche della consapevolezza dell’importanza di tali competenze in matematica.

Un secondo obiettivo, che riguarda te, come insegnante, è quello di portare alla luce le convinzioni che le studentesse e gli studenti hanno sui processi dimostrativi e sul linguaggio matematico, in modo da poter cercare di scardinare quelle inadeguate.

L’attività è tratta da una ricerca di Healy e Hoyles del 2000 (riportata nel testo Avere successo in matematica. Strategie per l’inclusione e il recupero di R. Zan e A. Baccaglini-Frank, 2017, UTET), che hanno sottoposto il test a 2459 studentesse e studenti di 14-15 anni con buon rendimento in matematica: nella versione qui proposta sono stati modificati i nomi, per renderli più familiari, ed è stata resa più esplicita la consegna.

Dalla ricerca di Healy e Hoyles emerge un dato particolarmente interessante e preoccupante: anche se solo il 2% delle studentesse e degli studenti sceglie la risposta di Elisa (in cui l’uso del linguaggio matematico appare quasi farneticante) come vicina alla risposta che avrebbe dato, il 42% la sceglie come risposta che l’insegnante considererebbe migliore.

Questi risultati suggeriscono quindi che molte studentesse e studenti ricorrono al linguaggio matematico (o meglio, a quello che ritengono essere il linguaggio matematico) solo per dare a processi risolutivi già completati unaforma linguistica che ritengono sia quella attesa dall’insegnante: non lo utilizzano invece in tali processi, perché non ne (ri)conoscono la potenza.

Metodologia

In una prima fase individuale ciascuna studentessa e ciascuno studente devono innanzitutto comprendere la domanda posta da un'ipotetica insegnante di matematica alla sua classe. Successivamente devono leggere le argomentazioni portate da sei ipotetici allievi e fra queste devono quindi scegliere:

  • la risposta più vicina a quella che loro stesse o loro stessi avrebbero dato
  • la risposta che a loro parere l’insegnante apprezzerebbe di più

motivando nei due casi la propria scelta.

Nella fase successiva studentesse e studenti si riuniscono in gruppo e confrontano le risposte che hanno dato. È il momento in cui un membro del gruppo può modificare la propria opinione, convinto dalle argomentazioni di una compagna o di un compagno. Alla fine del confronto il gruppo deve cercare di produrre un’unica risposta condivisa (non necessariamente scelta fra quelle date) oppure descrivere le diverse posizioni che permangono all’interno.

L’ultima fase prevede che l'insegnante tiri le fila, attraverso un confronto e una discussione in classe fra i diversi gruppi.

Il linguaggio matematico: le definizioni

CLASSE PRIMA

Contenuto

L’attività ha per oggetto la definizione di "altezza" in un triangolo.

È noto che la richiesta di disegnare l’altezza relativa a un lato crea difficoltà quando il lato è messo in una posizione non standard, oppure quando il triangolo è ottusangolo o rettangolo.

L’attività chiede proprio di disegnare un’altezza in un triangolo posto in una situazione non standard e in un triangolo ottusangolo.

La ricerca didattica ha evidenziato che nel caso delle definizioni le studentesse e gli studenti si costruiscono un’immagine mentale che in genere è diversa dalla definizione matematica data e, in presenza di un problema, fanno ricorso all’immagine mentale che hanno costruito e non alla definizione: è quindi importante insegnare alle studentesse e agli studenti ad attivare processi di controllo, forzando in qualche modo il ricorso alla definizione matematica.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo generale di questo tipo di attività è far comprendere alle studentesse e agli studenti il ruolo delle definizioni in matematica.

Un obiettivo più specifico è rendere le studentesse e gli studenti consapevoli del fatto che l’immagine mentale che hanno costruito a partire da una definizione può essere distante dalla definizione stessa e insegnare loro ad attivare processi di controllo.

Un terzo obiettivo, ancora più specifico ma altrettanto importante, è far comprendere la definizione di "altezza" in un triangolo.

In questa attività in particolare si forzano le studentesse e gli studenti a controllare la coerenza fra quello che hanno disegnato e la definizione esplicita di "altezza": si portano le studentesse e gli studenti a ritornare sulla definizione data attraverso domande mirate, che mettono in gioco anche l’immagine mentale tipicamente associata a tale definizione.

Metodologia

L’attività si svolge soprattutto nella prima fase, che è individuale.

Tu, come insegnante, devi cercare di passare alle tue studentesse e ai tuoi studenti il messaggio che in questo contesto non è importante ricordare la definizione di altezza, ma ricorrere a tale definizione, che è sempre disponibile, per controllare la correttezza della soluzione data.

Nella fase di gruppo le studentesse e gli studenti avranno occasione di esplicitare i propri dubbi e spiegare le proprie opinioni.

Come sempre è importante che l'insegnante tiri le fila in una discussione e confronto finali. In questa occasione potrai approfondire ulteriormente il tema delle definizioni in matematica ed eventualmente proporre ulteriori attività (per esempio nel testo Avere successo in matematica. Strategie per l’inclusione e il recupero di R. Zan e A. Baccaglini-Frank, 2017, UTET, si trovano attività sulle definizioni di numero razionale, di numeri primi tra loro e di valore assoluto di un numero reale, quest’ultima proposta anche nei materiali di questo percorso d’accoglienza per le classi seconda e terza).

CLASSE SECONDA

Contenuto

L’attività ha per oggetto la definizione di "valore assoluto" di un numero reale.

La ricerca didattica ha evidenziato che nel caso delle definizioni le studentesse e gli studenti si costruiscono un’immagine mentale che in genere è diversa dalla definizione matematica data e, in presenza di un problema, fanno ricorso all’immagine mentale che hanno costruito e non alla definizione: è quindi importante insegnare alle studentesse e agli studenti ad attivare processi di controllo, forzando in qualche modo il ricorso alla definizione matematica.

Per molte studentesse e per molti studenti il valore assoluto di un numero è "il numero senza segno": questa immagine mentale naturalmente costituisce un ostacolo ad affrontare e risolvere problemi che non siano standard.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo generale di questo tipo di attività è far comprendere alle studentesse e agli studenti il ruolo delle definizioni in matematica.

Un obiettivo più specifico è rendere le studentesse e gli studenti consapevoli del fatto che l’immagine mentale che hanno costruito a partire da una definizione può essere distante dalla definizione stessa e insegnare loro ad attivare processi di controllo.

Un terzo obiettivo, ancora più specifico ma altrettanto importante, è far comprendere la definizione di "valore assoluto" di un numero reale.

In questa attività in particolare si dà una definizione di valore assoluto e si chiede alle studentesse e agli studenti di leggere e comprendere tale definizione, anche attraverso alcune domande e soprattutto attraverso il confronto previsto nel lavoro di gruppo della seconda fase. Le ultime domande, da affrontare in gruppo, descrivono due misconcetti molto diffusi riguardo al valore assoluto e permettono quindi di prendere coscienza di tali misconcetti e di superarli.

Metodologia

L’attività si svolge soprattutto nella seconda fase, attraverso il confronto con i compagni, che permetterà di portare alla luce le proprie convinzioni e di metterle in discussione.

Come sempre è importante che tu l'insegnante tiri le fila in una discussione e confronto finali. In questa occasione potrai approfondire ulteriormente il tema delle definizioni in matematica ed eventualmente proporre ulteriori attività (per esempio nel testo Avere successo in matematica. Strategie per l’inclusione e il recupero di R. Zan e A. Baccaglini-Frank, 2017, UTET si trovano attività sulle definizioni di numero razionale, di numeri primi tra loro; nei materiali di questo percorso d’accoglienza per le classi prime è invece proposta un’attività sulla definizione di "altezza" in un triangolo).

Queste attività sono state realizzate da:

Rosetta Zan

Rosetta Zan

Già docente di Didattica della matematica presso l’Università di Pisa. Esperta di processi di insegnamento e apprendimento della matematica, con particolare attenzione alle difficoltà degli allievi, al problem solving e alla formazione insegnanti.

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