Le difficoltà in matematica di studentesse e studenti non si superano abbassando il livello delle domande che facciamo, ma cambiando l'obiettivo per cui le facciamo: stimolare processi di pensiero, invece di controllare se sanno rispondere.

Rosetta Zan

Le proposte di Rosetta Zan per un ritorno in classe sereno e "matematico"

L’inizio dell’anno scolastico è sempre un momento importante, sia per te come insegnante che per le tue studentesse e i tuoi studenti: carico di buoni propositi, del bisogno di ripartire bene. Quest’anno poi, come il precedente, ai buoni propositi si aggiunge la preoccupazione di riuscire a superare le difficoltà causate dalla pandemia che hanno colpito la scuola in modo significativo. Da insegnanti si tende in particolare a dare molto rilievo alle carenze e lacune che le studentesse e gli studenti possono aver accumulato nel periodo di didattica a distanza, e ci si preoccupa di come riuscire a superarle e ancora prima a riconoscerle.

Ma la didattica a distanza e i distanziamenti in classe hanno prodotto altri effetti negativi: la dimensione sociale che è così importante nell’apprendimento e nell’insegnamento – anche della matematica - ha risentito fortemente delle restrizioni anti-Covid.

Per questo la professoressa Zan crede sia opportuno partire da lì, per ripartire bene, per accogliere le tue studentesse e i tuoi studenti in un ambiente sereno e che favorisca l’apprendimento: innanzitutto conoscendoli meglio, attraverso una riflessione sul rapporto che hanno costruito con la matematica e che può ostacolare un approccio adeguato alla disciplina; poi facendoli parlare fra loro di matematica, facendoli lavorare insieme in attività che siano significative dal punto di vista della matematica e che traggano vantaggio dal confronto di idee e di modi di esprimersi.

Le attività che qui trovi hanno queste caratteristiche in quanto sono centrate su processi e aspetti cruciali dell’apprendimento della matematica, in particolare sul pensiero matematico e sul linguaggio matematico. Proprio per questo, non sono utili solo per l'accoglienza, ma possono essere proposte alle tue studentesse e ai tuoi studenti durante tutto l'anno scolastico.

Per ogni classe sono proposte 3 attività, che riguardano i seguenti aspetti:

  • l’atteggiamento nei confronti della matematica;
  • il pensiero matematico, in particolare congetturare, argomentare/dimostrare;
  • il linguaggio matematico, in particolare la comprensione e l’uso delle definizioni.

A parte la riflessione sull’atteggiamento, per ognuna delle altre attività è prevista una fase preliminare di riflessione individuale, seguita da una fase di confronto e discussione da svolgere in gruppi. Ti suggeriamo di formare gruppi poco numerosi (al massimo 4 studenti) e omogenei.

In queste due fasi è importante lasciare alle studentesse e agli studenti il tempo necessario e non intervenire immediatamente per correggere eventuali errori o per suggerire strategie risolutive. Al più puoi cercare di sbloccare situazioni di stallo attraverso opportune domande. In ogni caso è prevista una fase finale in cui l’insegnante stimola il confronto fra i gruppi, una discussione collettiva, e quindi tira le fila dell’attività.

Le attività proposte sono solamente una traccia e vanno adattate al contesto della classe: in particolare possono essere rese più complesse o più semplici a seconda delle esperienze che le studentesse e gli studenti hanno già fatto sui temi proposti.

È importante sottolineare che l’obiettivo con cui sono scelte le domande delle attività proposte non è quello di ottenere risposte corrette, ma quello di stimolare i processi di pensiero delle tue studentesse e dei tuoi studenti e anche di rendere consapevoli loro e te di eventuali difficoltà, in modo da poterle superare.

Se vuoi approfondire:

In matematica le domande che in genere si fanno a una studentessa o a uno studente vogliono verificare se conosce la risposta ‘giusta’: questa pratica ha però alcune conseguenze negative; per un insegnamento efficace è invece importante fare domande che siano in grado di attivare processi di pensiero significativi.

Guarda la videolezione di Rosetta Zan; se vuoi, puoi farle domande compilando il modulo.

L'atteggiamento verso la matematica

Contenuto

Questa attività ha per oggetto una riflessione da parte di studentesse e studenti sul rapporto che hanno costruito con la matematica durante il loro percorso scolastico.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo è duplice.

Dal punto di vista di studentesse e studenti si vuole favorire la loro consapevolezza riguardo al loro rapporto attuale con la matematica, ma anche alle possibili cause di tale rapporto.

Dal punto di vista dell’insegnante questa attività vuole favorire la conoscenza dell’atteggiamento che hanno studentesse e studenti verso la matematica, in particolare qual è la visione della matematica che hanno costruito e qual è il suo senso di autoefficacia.

La conoscenza da parte dell’insegnante di questi due aspetti può essere d'aiuto sia per interpretare i comportamenti di studentesse e studenti che per intervenire in modo mirato.

Questo tipo di indagine è particolarmente significativo per imparare a conoscere le studentesse e gli studenti di una nuova classe, quindi nelle classi prime (in cui vengono proposte due domande aggiuntive, riguardanti le aspettative di studentesse e studenti sull’insegnante di matematica), ma anche nel caso delle classi successive è utile per conoscere alcuni aspetti che in genere nella pratica didattica vengono sottovalutati e che invece sono molto importanti, soprattutto per capire le cause di eventuali difficoltà.

Metodologia

Il questionario va compilato individualmente.

Puoi utilizzare il questionario anche come strumento per il monitoraggio dell’atteggiamento, riproponendolo all’inizio di ogni anno o in altri momenti (eventualmente in una versione modificata o ridotta) per riconoscere cambiamenti in positivo o negativo.

Anche se il questionario prevede una compilazione individuale, puoi cogliere l’occasione per promuovere una riflessione e un confronto collettivi in classe sulla natura della matematica, su cosa vuol dire "andar bene" in matematica e sugli altri punti oggetto delle domande.

Per il monitoraggio dell’atteggiamento inoltre può essere utile, alla fine di un ciclo di lezioni su un argomento, porre alcune domande del tipo:

  • Cosa ti è piaciuto di più?
  • Cosa ti è piaciuto di meno? Perché?
  • Cosa ti è risultato più facile? Cosa ti è risultato più difficile? Perché?

Il pensiero matematico: congetturare e argomentare

CLASSE PRIMA

Contenuto

Questa attività ha per oggetto i processi di congetturare e argomentare, la cui importanza è sottolineata nelle Indicazioni Nazionali.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo è quello di far formulare alle studentesse e agli studenti una congettura (scelta fra diverse opzioni possibili) su cosa succede quando si sommano due numeri pari e quindi di argomentare la congettura fatta.

La tua attenzione come insegnante dev’essere quindi su questi due processi e non sul fatto che la congettura scelta sia quella "giusta": per questo motivo sono cruciali i momenti di discussione e confronto delle congetture e delle argomentazioni previsti sia all’interno dei gruppi che a livello di classe.

Metodologia

In una prima fase individuale ciascuna studentessa e ciascuno studente devono innanzitutto comprendere la domanda posta, quindi scegliere la risposta che ritengono corretta e poi motivarla.

Nella fase successiva studentesse e studenti si riuniscono in gruppo e confrontano le risposte che hanno dato. È il momento in cui un membro del gruppo può modificare la propria opinione, convinto dalle argomentazioni di una compagna o di un compagno. Alla fine del confronto il gruppo deve cercare di produrre un’unica risposta condivisa (congettura + argomentazione), oppure descrivere le diverse posizioni che permangono all’interno.

L’ultima fase prevede che l'insegnante tiri le fila, attraverso un confronto e una discussione in classe fra i diversi gruppi.

L’attività ha degli sviluppi naturali: domande analoghe si possono porre per la somma di numeri dispari o per il prodotto di due numeri pari o di due numeri dispari.

CLASSI SECONDA E TERZA

Contenuto

Questa attività è un adattamento di una Prova INVALSI del 2010 (domanda 17 del livello 8) e ha per oggetto i processi di congetturare e argomentare, la cui importanza è sottolineata nelle Indicazioni Nazionali.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo è quello di far formulare alle studentesse e agli studenti una congettura e quindi di argomentare la congettura fatta, scegliendo fra diverse opzioni possibili, rappresentate dalle risposte di ipotetici allievi.

Di conseguenza la tua attenzione come insegnante dev’essere su questi due processi e non sul fatto che la congettura formulata sia "giusta": sono quindi cruciali i momenti di discussione e confronto delle congetture e delle argomentazioni previsti sia all’interno dei gruppi che a livello di classe.

Nella classe terza, se le tue studentesse e i tuoi studenti sono abituati a un lavoro di questo tipo, puoi anche decidere di aprire il problema e di chiedere di produrre una congettura e poi di argomentarla. Nelle esperienze fatte con questa modalità fra le argomentazioni prodotte dalle studentesse e dagli studenti sono sempre presenti quelle proposte nella prova originaria.

Metodologia

In una prima fase individuale ciascuna studentessa e ciascuno studente devono innanzitutto comprendere la domanda posta da un'ipotetica insegnante di matematica alla sua classe. Un elemento di difficoltà può essere rappresentato dall’uso del linguaggio matematico: è importante che tu controlli la comprensione del significato dell’espressione (− 1).

Successivamente ciascuna studentessa e ciascuno studente devono leggere le risposte date da quattro ipotetici allievi e le loro argomentazioni: fra queste devono quindi scegliere la risposta che ritengono corretta e poi motivare perché l’hanno scelta. Fra le varie risposte due rappresentano una congettura scorretta (quelle di Roberto e Angela) e la terza, quella di Ilaria, merita particolare attenzione:

“Il risultato è sempre pari, perché 3 × (3 − 1) fa 6, che è pari.”

Qui infatti abbiamo la prima affermazione che è vera, ma l’argomentazione portata è insufficiente, in quanto si limita a produrre un esempio, ma non garantisce della validità generale dell’enunciato. Riconoscere l’inadeguatezza dell’argomentazione nonostante la verità delle due affermazioni utilizzate richiede astrazione ed è quindi un aspetto particolarmente delicato, su cui è importante lavorare.

Nella fase successiva studentesse e studenti si riuniscono in gruppo e confrontano le risposte che hanno dato. È il momento in cui un membro del gruppo può modificare la propria opinione, convinto dalle argomentazioni di una compagna o di un compagno. Alla fine del confronto il gruppo deve cercare di produrre un’unica risposta condivisa (congettura + argomentazione), oppure descrivere le diverse posizioni che permangono all’interno.

L’ultima fase prevede che l'insegnante tiri le fila, attraverso un confronto e una discussione in classe fra i diversi gruppi.

Il linguaggio matematico: le definizioni

Contenuto

Uno Zukei puzzle consiste nell’individuare i punti che possono essere vertici di una certa figura geometrica (per esempio un certo tipo di quadrilatero) in una griglia quadrata in cui sono già evidenziati alcuni punti.

A seconda di come sono messi i punti, la figura geometrica richiesta può essere messa in una posizione non standard, in particolare senza alcun lato orizzontale e verticale.

L’attività quindi si presta a lavorare sulle proprietà delle figure geometriche e sulle definizioni che fanno riferimento a tali proprietà.

Obiettivi e indicazioni didattiche

L’obiettivo generale di questo tipo di attività è far comprendere alle studentesse e agli studenti il ruolo del linguaggio matematico per affrontare e risolvere problemi.

Un obiettivo più specifico è quello di far comprendere l’importanza delle definizioni in matematica. In questa attività infatti i problemi proposti richiedono la conoscenza e l’utilizzazione corretta delle definizioni di alcuni quadrilateri.

La ricerca didattica ha evidenziato che nel caso delle definizioni studentesse e studenti si costruiscono in genere un’immagine mentale che in genere è diversa dalla definizione matematica data e, in presenza di un problema, fanno ricorso all’immagine mentale che hanno costruito e non alla definizione: è quindi importante insegnare a studentesse e studenti ad attivare processi di controllo, forzando in qualche modo il ricorso alla definizione matematica. Nel caso delle figure geometriche è frequente che l’immagine mentale associata a una figura faccia riferimento alla posizione standard di questa figura invece che alle proprietà geometriche che la caratterizzano: per esempio un quadrato disegnato con i lati obliqui rispetto al foglio viene riconosciuto come rombo e non come quadrato.

In questa attività l’immagine mentale tipicamente associata a una figura geometrica non permette di risolvere il problema assegnato: le studentesse e gli studenti quindi sono stimolati a far ricorso alla definizione matematica.

Nel caso delle prime due classi l’importanza di far ricorso alla definizione invece che all’immagine mentale è favorita da una domanda preliminare, in cui si confrontano le opinioni di una studentessa e di uno studente riguardo al fatto che quattro vertici della griglia individuino o meno un rettangolo.

Metodologia

In caso di difficoltà di studentesse e studenti a disegnare la figura richiesta (un triangolo isoscele e poi due trapezi), è bene che tu, come insegnante, suggerisca esplicitamente di scrivere la definizione di tale figura e quindi di partire da tale definizione per cercare di individuare i quattro punti corrispondenti ai vertici.

Uno sviluppo naturale per la classe terza è quello di chiedere anche perimetro e area delle figure disegnate, utilizzando come unità di misura rispettivamente il lato e l’area del quadretto della griglia.

Queste attività sono state realizzate da:

Rosetta Zan

Rosetta Zan

Già docente di Didattica della matematica presso l’Università di Pisa. Esperta di processi di insegnamento e apprendimento della matematica, con particolare attenzione alle difficoltà degli allievi, al problem solving e alla formazione insegnanti.

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